Effective Temperature

一切之前的碎碎念：最近感觉身体愈加虚弱^[1]，今天锻炼身体之后，感觉神清气爽，而且思维活跃了不少，正好把最近头疼的一个物理概念梳理一下（因为记性属实不好，权当写给未来的自己）。

Introduction

这里的有效温度指的是一般经典系统非平衡态中的一种，能够将非平衡系统的某些性质映射到更高温度的平衡系统的相同性质。

从热力学基本定律、吉布斯关系、 FDR 、动能和势能可以计算非平衡体系的“温度”，称作有效温度，从不同的方法中能得到不同的有效温度^[2]。不同的方法得到的有效温度不一致，让人难以捉摸。^[3]

隐隐约约间，有效温度就像是一个参数 而且还没有一个明确普适的含义。虽然一个非平衡态系统在各个方向，各个尺度上的运动不太可能是相同的。

私以为，在上个世纪末的时候^[4]有效温度这一概念不是非常清晰，不过大致可以分为从动力学量和热力学量计算的两种类型。最近大家都普遍使用 fluctuation-dissipation relations (FDRs) 来计算。第一个从 FDRs 计算的人是谁有待考证，不过 Ludovic Berthier 教授在此方面做了相当多的研究。大概本文会一直围绕 FDRs 方法梳理。

FDRs Method

在稳态简单剪切的非平衡态系统中，对于任意两个物理量 $A\left(t\right)$ 与 $B\left(t\right)$ 可以给出他们的关联互相关函数：

$$C_{AB}\left(t\right)=⟨A(t+t_0)B\left(t_0\right)⟩-⟨A\left(t_0\right)⟩⟨B\left(t_0\right)⟩$$

响应函数：

$$R_{AB}\left(t\right)\equiv \frac{\delta A(t+t_0)}{\delta h_B\left(t_0\right)}$$

这里的 $h_B\left(t_0\right)$ 是 $t_0$ 时刻发生的（对部分粒子起作用的）与 $B(t)$ 共轭的一个微扰场。如果使用 $A\left(t\right)=⟨\frac{1}{N^{\prime }}\sum _j{ϵ}_i\exp (i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)})⟩$ 与 $B(t)=⟨2\sum _j{ϵ}_j\cos (i\mathbf{k}{\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)})⟩$ 那么 $C_{AB}(t)$ 可以证明是 自相关中间散射函数 (Self-Intermediate Scattering Functions, ISF) 这个物理量一般用来表征粒子间的弛豫。

平衡状态下相关函数与响应函数满足涨落耗散定理：

$$T{R}_{AB}(t)=\frac{d{C}_{AB}(t)}{dt}$$

同时 susceptibility（这个中文翻译没有找到，暂且叫敏化率吧）可以由响应函数积分得到：

$${\chi }_{AB}(t)\equiv {\int }_0^{t}d{t}^{\prime }{R}_{AB}(t^{\prime })$$

如果场 h_{B} 不太大，满足线性响应，那么使用敏化率可以表示为

$$T{\chi }_{AB}(t)=C_{AB}(0)-C_{AB}(t)$$

有效温度 $T_{eff}^{AB}$ 满足 $R_{AB}(t)=-\frac{1}{T_{eff}^{AB}}\frac{d{C}_{AB}(t)}{dt}$，有效温度在 ${\chi }_{AB}-C_{AB}$ 图像上会表现为曲线的线性关系，如图：

这图一看就知道算起来有非常多的 tricks 理论上有效温度是唯一的，与选择的可观测量无关。这在平均场层面成立，Ludovic Berthier 教授的论文中证明至少在 Kob-Anderson 过冷液体模型中也是成立的^[5]。

参考

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1. 大概率是熬夜导致的，让人不由得想起最近一部番中某位主角，精神状态十分相似 ↩︎

2. 虽然我觉得这个非常正常 ↩︎

3. https://doi.org/10.1126/sciadv.abg6766 ↩︎

4. 在看到的还记得的古早文献中 ↩︎

5. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.89.095702 ↩︎